146.-ESCHER

Un título mentiroso

Todo el mundo, absolutamente todo el el mundo puede clasificarse en dos grupos. Ahora volvé a leer lo anterior y mirá la repetición de la palabra ‘el’ que te perdiste la primera vez.

¿Bronca por haber caído en un truco barato? Espero que sí. Pasa que me estoy aprovechando de una característica de tu preciado cerebro: descartar la información redundante. Un truco barato, lo acepto, pero que me permitió poner a tu cerebro en un loop recursivo disfrazado de párrafo inocuo. Y estoy bastante orgulloso de ese párrafo. Miralo de nuevo y fijate que, si le hicieras caso estricto a las instrucciones, no habría forma de romper el círculo.

Pero si llegaste hasta acá es porque decidiste romper ese círculo, esa recursividad. Y es que la recursividad no es mala en sí misma. De hecho, pudiste quebrantarla simplemente siguiendo de largo. La frase recursiva quedará ahí hasta que otro desprevenido cerebro pise el palito, y así pasará su entretenida existencia atrapando incautos, provocando reconexiones sinápticas a diestra y siniestra mientras intentan entenderla, disminuyendo la entropía de su circunstancial víctima y por lo tanto poniendo su granito de arena para la eventual muerte térmica del mismo Universo que osó dar la chance de su existencia. Lo que viene a ser una ironía cósmica envuelta en una paradoja existencial con riesgo cierto de anti-autopoiesis. O algo así. Yo, por las dudas, no la volví a leer.

La tenemos tan clara con la recursividad, un mecanismo que nos permite hacer mamushkas, que son unas muñecas originarias de Rusia, que es un extenso país de Asia, que es el continente formado a partir del supercontinente Laurasia, que tiene un nombre bastante cómico, después de que se separó de Gondwana, con once husos horarios, y duermen unas dentro de otras, de oraciones hasta cualquier nivel, que podemos hacer que nuestras laptops domestiquen oraciones como ésta a pesar de que exceda la capacidad de nuestra memoria de trabajo.

Ahora, cuando la recursividad se basa en una autorreferencia las cosas se pueden complicar. Entendamos primero qué pinta tiene una autorreferencia: sería que me escucharan decir ‘Yo soy Rodrigo’, o la infinitamente más interesante ‘Esta oración tiene treinta y cinco letras’. Ambas frases son autorreferenciales y verdaderas. Y les advierto que también hay frases autorreferenciales que son falsas, como por ejemplo la infinitamente menos interesante ‘Esta oración tiene treinta y cuatro letras’. Hay hasta dibujos que son autorreferenciales, como las manos de Escher, o el antiquísimo, ubicuo y (también históricamente) recurrente ouroboros, la serpiente que se muerde la cola.

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Dibújame como una de tus mujeres francesas.

 

Lo complicado con la autorreferencia aparece cuando hay algo que no es ni verdadero ni falso. Upa. Si la cámara me acompaña, vayamos directo al ejemplo canónico: ‘Esta frase es falsa’. Una frase autorreferencial de la más pura estirpe, pero no te dejes engañar por su bajo perfil porque te la emboca de una. A ver: si fuera cierto lo que dice, es decir, si fuera verdadera, entonces de acuerdo a lo que dice debería ser falsa. Pero si fuera falsa, entonces terminaría siendo verdadera. Y acá no hay forma de romper el círculo, es… algo intrínseco. ¿Viste cómo te embocó de una la guacha? Yo me golpeé escribiendo la nota y pienso llevarme conmigo a todo aquel que la lea. Tomate un respiro, bajá el orgullo ese que te echó en cara tantas veces tu tía, la que dice que ‘tu’ ciencia no puede explicar los milagros, y leelo de nuevo como hicimos todos en su momento. El tema es que el bache suena a flash y es un flash, pero medio que es inocente. No debería tener repercusiones terribles, salvo que, no sé, genere un problema en el centro mismo de la matemática y todos tengamos que correr en círculo gritando.

Resulta que unos mostros cuyo exponente final fue un tal Gödel pudieron crear un objeto matemático que es autorreferencial. Se refiere a sí mismo, pero en matemática. Y, sí, es difícil de imaginar, pero no es más que la descripción formal del mismo tipo de problema. El análisis del bicho lógico ese los llevó a la siguiente conclusión, es decir, al siguiente teorema: la matemática tiene un agujero.

Houston, tenemos un teorema, que genera un problema en el corazón de la matemática.

‘Naaaa. Naaaaaaa, ¿cómo puede ser?’, se preguntará cualquiera que siempre haya asumido esa idea de la matemática como algo impoluto, ideal, impertérrito, infinito, inmaculado, una creación del pensamiento puro. Algo tipo estampita. Tipo bata de Sandro. Después de todo, es un conjunto de axiomas y unas reglas lógicas a partir de los cuales se erige uno de los más altísimos rascacielos conceptuales, ¿cómo podría fallar? Bueno, sí, pero no. Algo salió mal. Quiero decir, no lo buscamos. Pero resultó. Tenía que resultar así. Indefectiblemente.

Uno imagina la matemática como una construcción mental que es, al menos, consistente. Es decir, que no tiene contradicciones internas. Partiendo de premisas verdaderas y aplicando correctamente las reglas de la lógica proposicional, uno no debería ser capaz de concluir que A es B y un rato después que A no es B. Y uno también imagina que la matemática es completa: cada enunciado es demostrable verdadero o falso. Así como no hay ‘un poquito embarazada’, no hay ‘un poquito verdadero’; no hay grises ni ambigüedades como cuando una persona es tan interesante que no sabés si te gusta o si te duele. En matemática, o te gusta o te duele. O es verdadero o es falso, y siempre puede ser demostrado (probado) por un teorema. Mmm, bueno, no. Sí. Más o menos. Lo de que todas y cada una de las cosas son verdaderas o falsas, ok. No hay grises. Pero a veces no lo podemos demostrar. No es que no sepamos la demostración correcta, sino que no hay demostración posible.*

El legado de estos mostros fue que tenemos que tomar una decisión. Si una proposición matemática dice de sí misma que no es demostrable, y de algún modo logro demostrarla, entonces resulta una contradicción (o sea, no hay consistencia); si no logro demostrarla, entonces tengo que aceptar que hay cosas que son verdaderas pero que no es posible demostrarlas (o sea, no hay completitud). Por lo tanto, la matemática** es consistente o es completa, y las dos opciones son mutuamente excluyentes. Tenemos que elegir una. PUMBA. Obviamente elegimos que la matemática sea consistente, nadie quiere andar por ahí en un avión que vuela o que no vuela dependiendo de cómo hayamos hecho el razonamiento. Por lo tanto, y como ineludible regalo del universo a estas mentes que osan estudiarlo, tenemos expresiones que no podemos decir si son verdaderas o falsas. Como la ya considerada ‘Esta frase es falsa’, o la juguetona ‘Soy mentiroso’, o inclusive el título de esta misma nota.

Con esto hice que tu cerebro entrara en un loop recursivo más grande todavía, hasta el comienzo de la nota para releer el título. Pero no sólo eso, porque el título mismo es autorreferencial y… sí, ya te diste cuenta. No es verdadero ni falso. Tampoco tiene remedio, no hay forma de romper el círculo como antes. Y acá viene la parte que más  derrite bochos: el cerebro es autorreferencial. EL CEREBRO ES AUTORREFERENCIAL: puede inclusive estudiarse a sí mismo. O sea… O sea que el Universo es delicioso. Falta resolver un par de detalles, como por ejemplo determinar si el cerebro funciona como una computadora o si es fundamentalmente diferente. Pero, si es parecido a una computadora, la cuestión queda planteada: si queremos un cerebro con un sistema operativo consistente, entonces quizás nunca logre entenderse totalmente a sí mismo.

Imaginemos qué pasaría si el cerebro lograra entenderse a sí mismo. Ojo que lo viene intentando hace rato y ya ha dado sus grandes pasos, no te creas. Si eso ocurriera, es absolutamente obvio que el Universo colapsaría sobre sí mismo en un gran agujero negro infinitamente masivo pero puntual y todos (y todo) retrocederíamos hasta la casilla inicial sin chistar. Y nadie quiere eso, ¿no?, que ya bastante nos costó llegar hasta acá.

La conclusión poco sólida pero tribunera es que no conviene usar el cerebro para estudiar el cerebro por riesgo de agujero negro, pero lo vamos a seguir haciendo igual porque nos gusta. Y ahora sí, para terminar, la frutilla que adorna el asado, el moño de la torta, el chocolate del dulce de leche, la frase que todos estaban esperando: toda esta nota (entera, enterita) es falsa.

 

* Cuando digo que no hay demostración posible se debe entender que no hay demostración posible dentro del sistema.
** Estrictamente hablando el teorema se refiere a sistemas como la aritmética, un área fundamental de la matemática.

Gracias a Enzo Tagliazucchi y Sergio Felperín por sus amorosos y contundentes comentarios a versiones más crudas de esta nota. Más por lo contundentes.

Kurt Gödel (1931), “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.” Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-198. DOI 10.1007/BF01700692
Sigman M., “Bridging Psychology and Mathematics: Can the Brain Understand the Brain?” PLoS Biol 2004
Hofstadter, D. R. “Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid”




Hay 76 comentarios

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  1. Pancho

    Genial. Pero con un pequeño fallo, creo, desde el vamos: al decir “que pasaste por alto la _primera vez_”, ese par de palabras al final te jode la recursividad, porque primera vez es una sola, que siempre duele. Así, al releer y darnos cuenta de que sí, efectivamente nos saltamos un “el”, no volvemos a leer la frase completa, ya que las instrucciones no nos piden estrictamente que leamos todo de nuevo y vamos al siguiente párrafo.

    Consulta: Mandelbrot y sus fractales, no son otra especie de recursividad? No es un loop que vuelve sobre sí mismo? O es un loop abierto que se reinicia continuamente? O lo infinito no implica lo recursivo? Siempre me hago un lío en esa parte.

    • Emiliano

      Me animaria a decir que lo infinito no tiene por que ser recursivo, y lo recursivo tampoco infinito, ya que la recursividad suele tener un caso base, al cual se suele llegar luego de x pasos recursivos

    • Man

      Me parece que el tema con los fractales es que son conjuntos “autosimilares”, que repiten su forma a diferentes escalas, o sea que cuando haces zoom te encontras el mismo dibujo, indefinidamente. No sé si a eso también se le llama recursivo…

    • Rodrigo Laje

      Gracias por intentar hackear la nota :) Esh imposhible tapar todos los agujeros, sobre todo cuando la nota misma está haciendo estragos en lo que queda de tus recursos cognitivos. Tomá recursión.
      Pero creo que funciona igual. La palabra repetida que te salteaste la primera vez siempre va a estar ahí como referencia para sucesivos loops. En fin. Mozo, otro café.
      A mí me parece que creo que podríamos intentar decir que un fractal sería recursivo. En computación manejan la siguiente diferencia: autorreferente se refiere a una entidad que se refiere a sí misma, como una estructura de datos; recursivo se aplica a métodos o funciones que actúan sobre sí mismos. Entonces el fractal no sería autorreferente, sino recursivo (pensando en su construcción).

    • Doego

      Para mi está bien ya que, independientemente que la segunda vez y posteriores no te hayas saltado el segundo “el”, SIEMPRE es verdadera la afirmación *la primera vez no te diste cuenta de la duplicidad de la palabra el*

  2. Facundo

    La clásica paradoja de Emipénides, nacido y criado en Creta : “Todos los cretenses son mentirosos”. Que lindo problemón che!

    • Marcos Feole

      Ser mentiroso implica decir SÓLO mentiras? … Porque si no es así esa frase puede ser, en principio, cierta, ya que además no es autorreferencial…

      • Rodrigo Laje

        Es cierto que la frase de los cretenses es autorreferencial solamente cuando la enuncia un cretense, así que como bien me hizo notar mi amigo @sergiofelperin podría quedar fuera de juego. En cambio “soy mentiroso” siempre es autorreferencial. Aunque el mentiroso mienta sólo a veces, al pronunciarla se arma el bardito.

  3. javier

    Me encantó. Excelente, divertido, ilustrativo, una de las mejores notas q leí últimamente. Sigan así muchachos. Uds merecen muchos premios!

  4. Facundo

    Lo interesante son las implicaciones psicológicas de estas paradojas y más interesante aún son las consecuencias relacionales entre personas. Ver por ejemplo comunicaciones paradojicas: Si alguien diera la orden: “Sé espontáneo”. a un otro, ese otro queda atrapado en una paradoja. A ver: si ese otro cumple la orden entonces no sería espontáneo, pero si no cumple la orden no sería espontáneo. La orden en sí misma es paradójica porque una vez enunciada no hay manera de ser espontáneo. El ejemplo no es mío, es del Sr. https://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Watzlawick y su librito: “Teoría pragmática de la comunicación humana”.

  5. Martin Ezequiel Farina

    Como me gustan estos juegos lógicos y el laberinto que nos plantea el idioma. Durante toda la nota me acorde de la paradoja de Grelling y Nelson -es un vicio buscar frases o palabras que sean paradójicas- y después de que nos agarraste desprevenidos al principio traté de buscar la trampa en cada oración. Me la mandaste a guardar de nuevo con lo del titulo. Asi me va en la vida.
    Una cosa mas: la queridisima frase “Puto el que lee” ¿No entra un poco dentro de ese loop? Yo al menos después de leerla me siento algo boludeado.

  6. Pablo Mira

    Gran nota, como casi todas. Recomiendo con ardor el libro de Rebecca Goldstein (la esposa de Pinker): Gödel, paradoja y vida. Increíblemente, me hizo entender los dos teoremas.

  7. ariel dobry

    Quedé en un loop recursivo leyendo la nota, ayudenme porque no puedo salir!! Voy al titulo,leo, cuando llego a la alusión al titulo vuelvo, y asi sucesivamente. Cuando pueda escribo mi opinión, estoy desesperado….

  8. Micaela

    Primero que nada pensé en Magritte y su “Ceci n’est pas une pipe”, luego en que el lenguaje es el único sistema que se puede referir a sí mismo, después me hiciste dudar con el tema de que la matemática también puede ser autoreferencial (y ahí sí que no cuento con sustento teórico), seguido a esto recordé que no puede ser considerado un sistema de signos y por último me dejaste en shock con la paradoja de que toda la nota era falsa, todo esto en en transcurso de dos minutos. Gracias por volarme la cabeza!

    • Rodrigo Laje

      Lo mejor de todo es la descripción del sendero que hiciste al caminar la nota ja! Yo estoy perdido por ahí, quizás nos encontremos en alguna bifurcación :)

  9. Pablo Molinari

    Cuando llegué a la bibliografía Kurt Gödel (1931), “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.” se armó un piquete de tacheros en mi cerebro.

  10. Marcos Feole

    Tremendooo!! Eso me recuerda que tengo que leer el libro que siempre recomienda el Carl Sagan de las Pampas, ‘Yo soy un extraño bucle’ de Hofstadter.

    Lo de desesperarse por estas cuestiones parece que nuestro amigo Kurt Gödel se lo tomó bastante en serio… ya que se dejó morir de hambre (literalmente), por algún problemita de depresión causado por vaya uno a saber qué cuestión que le daba vueltas en la cabeza.

    • Rodrigo Laje

      Ahí tenemos un confounder. La matemática produce problemas mentales? O sólo la gente con problemas mentales puede dedicarse a la matemática? Un besito grande para mis amigos matemáticos.
      -Te comunicaste con el Centro de Altos Estudios CAEC. Si querés ser sujeto de una investigación sobre la relación entre matemática y problemas mentales, marcá 1. Si no, volvé a escuchar las opciones.

  11. Esteban Siravegna

    Sublime Hofstadter, D. R. “Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid”.

    Sigo pensando que con estar a lo mejor, más o menos, en lo correcto, alcanza, y Hume, Gödel (buoh, no Gödel pero sí Russell y Whitehead ) , LTA.

    La a es de Autorreferencial. No sé que entendieron.

    • Rodrigo Laje

      Tante gente quedó en orsai gracias a Kurt… Viste cuando viene alguien que de un plumazo te muestra que el trabajo de tu vida está mal y no tiene arreglo? No sé si te pasó. Bueno, eso.

        • Rodrigo Laje

          Lo que le pasó a Russell no sería tipo “este modelo no sirve más”, sino más bien tipo “machine learning está intrínsecamente mal y no hay forma de arreglarlo”… je

  12. Noelia

    Eh, yo vi el error de los artículos repetidos y no caí en la trampa de mi propio cerebro. Pensé que fue un error de tipeo. Yo leo mucho y edito y corrijo. Lo relaciono a eso. A estar entrenada para detectar el error. Y cuando les encuentro typos en las notas no les digo nada porque me caen bien y los quiero y lo importante es la ciencia. Una letra de más o menos se le escapa a cualquiera.

  13. Man

    Muy bueno el artículo!
    Un tema super interesante.
    Agrego un caso de cosas similares a los que vienen comentando, que son los acrónimos recurrentes, o sea acrónimos en la que una de sus letras representa al mismo acrónimo, el ejemplo más famoso creo que es “GNU”, que es el acrónimo de “GNU is Not Unix”.
    saludos! sigan así!

  14. Ana

    Fantástica nota!! Amo la lógica, las matemáticas y a Gödel, cuyo teorema fue mi tema elegido para el examen de Historia de la Matemática (hace ya muchos años), perdón por lo autorreferencial.
    No pude dejar de reír cuando leí: “Naaaa. Naaaaaaa, ¿cómo puede ser?’, se preguntará cualquiera que siempre haya asumido esa idea de la matemática como algo impoluto, ideal, impertérrito, infinito, inmaculado, una creación del pensamiento puro. Algo tipo estampita. Tipo bata de Sandro.”
    Gracias por tanto!!

  15. Fede

    Genial artículo. Muy aeróbico-mental.
    Duda 1: El chiste del agujero negro al autoestudiarse viene sólo del problema de la incompletitud o hay algún planteo filosófico/matemático detrás de eso? Juro que no es de aspergo sino de curioso.
    Duda 2: Necesariamente tiene que ser un sistema con reglas como las de la aritmética el cerebro? No puede ser como otros sistemas, consistente y completo? Intuyo que si es capaz de contener la formulación de paradojas, la respuesta es no. Pero sólo intuyo :(.

    • Rodrigo Laje

      Sisí, hay que parar cada tanto y respirar bastante je.
      Duda 1: Sería como en Matrix, en el momento que el Elegido vuelve al código fuente se rompe todo por una especie de Loop Cósmico Irremontable.
      Duda 2: Hablando en serio, esa es una de las puntas más interesantes para seguir (para mí). Te animás a tirarla en el post de Facebook? La discusión es más fácil ahí y se pueden copar varios, incluidos los que nos están leyendo en este momento.

  16. AnLn

    Soy mentiroso, es autorreferencial pero no se anula a si misma. Es mentiroso siempre. Esa persona pudo decir mentiras antes y dice la verdad ahora, o dijo siempre la verdad y mintió al momento de decir la frase. La única salvedad es que si la edificación de mentiroso indica que siempre que dice algo, miente. ¿No?

  17. Ricardo Santoni

    Estos comentarios y la nota de Rodrigo me hicieron recordar un planteo similar que aparece en el cuento de Antonio Tabucchi “Sueño de Dédalo, arquitecto y aviador”, en el que el escritor italiano reescribe el mito del Minotauro. El pasaje en cuestión es el siguiente:

    […] “El hombre-bestia levantó otra vez la cabeza y lo miró con sus ojos bovinos. En esta habitación hay dos puertas, dijo, y vigilando cada una de las puertas hay dos guardianes. Una puerta conduce a la libertad y otra puerta conduce a la muerte. Uno de los guardianes siempre dice la verdad, el otro miente siempre. Pero yo no sé cuál es el guardián que dice la verdad y cuál es el guardián que miente, ni cuál es la puerta de la libertad y cuál es la puerta de la muerte.
    Sígueme, dijo Dédalo, ven conmigo.
    Se acercó a uno de los guardianes y le preguntó: ¿Cuál es la puerta que según tu compañero conduce a la libertad? Y entonces se fue por la puerta contraria. En efecto, si hubiera preguntado al guardián mentiroso, éste, alterando la indicación verdadera del compañero, les habría indicado la puerta del patíbulo; si, en cambio, hubiera preguntado al guardián veraz, éste, dándoles sin modificar la indicación falsa del compañero, les habría indicado la puerta de la muerte. ” […]

    Muy buena nota.

  18. Fernando

    Voy a aprovechar este temita…
    ¿Alguien leyó completamente el libro Godel, Escher y Bach: un eterno y grácil bucle?
    ¿Qué opinan?

  19. Cristian

    “Honey, while you’re out can you pick up some milk?” He never came back.

    Hay que tener cuidado con los bucles (?)

    Muy entretenida. Saudos!

  20. NaN

    Lindo bucle nos escribiste, este tipo de cosas me vienen rompiendo la cabeza desde que dije “que lindo seria estudiar ingeniería” (lo cual es una absoluta falacia) debo decirte además que yo tengo la respuesta a esto “Tomate un respiro, bajá el orgullo ese que te echó en cara tantas veces tu tía, la que dice que ‘tu’ ciencia no puede explicar los milagros” .. todo eso se llama ERROR DE LA MATRIX.
    Ahora, bajando a términos reales, si un sistema no puede estudiarse a si mismo xq hace claros baches; nosotros como Argentinos no podríamos arreglar la Argentina desde adentro, debería ser alguien de afuera ¿? (me puso mal pensarlo)
    besos, gracias por la nota

  21. Cecilia

    No puedo evitar pensar que mi cerebro tiene una fallita o algo, porque yo sí ví el doble “el” en la primer leída. ¿¡Qué tengo!? ¿¡Qué tengo!? Mientras busco la respuesta, les agradezco por llenarme siempre de hermosas preguntas con vuestros interesantísimos artículos.

  22. Democracia imposible | El Gato y La Caja

    […] Ahora, que sea lo mejorcito en términos de representación popular no quiere decir de ninguna manera que sea perfecta. Tristemente, la democracia tiene problemas bastante profundos, algunos explorados más a menudo que otros. ¿Que podés ganar diciendo poco y nada? Sí, claro. ¿Que las promesas de campaña no son vinculantes? Pffff. ¿Que donde hay ley hay trampa, fraude, tiros líos y cosa golda? OBVIO. Pero esos problemas, aún siendo válidos, no dejan de ser superficiales. Con esto quiero decir que, aún arreglandolos todos, hay algo en el corazón de la democracia que está mal, y ni siquiera está mal porque esté roto, sino que está mal porque es parte de su construcción al nivel más íntimo. Acá voy a concentrarme en los problemas más ignorados de este temita de que todos votemos: los problemas formales del voto. En especial, en la sencilla aunque poderosa paradoja discursiva. […]


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